Tanx 微分

証明1：商の微分公式を使う

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x と (cos⁡x)′=−sin ⁡x(\cos x)'=-\sin x ，および商の微分公式を使えば簡単に導出できます。多くの教科書で採用されている方法です。

証明

(tan⁡x)′ =(sin⁡xcos⁡x)′=(sin⁡x )′cos⁡x−(cos⁡x)′sin⁡xcos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x (\tan x)'\\ =\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'\\ =\dfrac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^2 x}\\ =\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}\\ =\dfrac{1}{\cos^2x}

証明2：定義に従って計算する

教科書や参考書ではあまり採用されていませんが，こちらも自然な方法です。加法定理や極限計算の練習になるのでけっこうおすすめです。

証明

(tan⁡x)′=lim⁡h→0tan⁡(x+h)−tan⁡ xh(\tan x)'\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\tan(x+h)-\tan x}{h}

ここで加法定理を使うと上式は，

lim⁡h→01h(tan⁡x+tan⁡h2−tan⁡xtan⁡h−tan⁡x)\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x\right)

となる。さらに通分して変形していく：

lim⁡h→01h(tan⁡h+tan⁡2xtan⁡h2−tan⁡ xtan⁡h)=lim⁡h→0tan⁡hh⋅1+tan⁡2x1−tan ⁡xtan⁡h=lim⁡h→0sin⁡hh⋅1cos⁡h⋅11−tan⁡xtan ⁡h⋅1cos⁡2x=1⋅1⋅11−0⋅1cos⁡2x=1 cos⁡2x\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan h+\tan^2 x\tan h}{1-\tan x\tan h}\right)\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h}{h}\cdot\dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{1}{\cos h}\cdot\dfrac{1}{1-\tan x\tan h}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}\\ =1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{1-0}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ =\dfrac{1}{\cos^2x}

1/tan xの微分

次は 1tan⁡x\dfrac{1}{\tan x} （cot⁡x\cot x と書くこともあります）の微分公式です。 tan⁡x\tan x ほどではありませんがこちらも頻出なので丸暗記してもよいと思います。

1tan⁡x\dfrac{1}{\tan x} の微分は−1sin⁡2 x-\dfrac{1}{\sin^2 x}

マイナスがついていることに注意して下さい。

証明1：tan xでできれば1/tan xでもできる

tan⁡x=sin⁡x cos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} と 1tan⁡x=cos⁡x sin⁡x\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x} は形が似ているので，tan⁡x\tan x に通用する方法は 1tan⁡x\dfrac{1}{\tan x} にも通用するだろう，と考えたいところです。

実際，上で紹介した tan⁡x\tan x の二通りの証明方法について，どちらも 1tan⁡x\dfrac{1}{\tan x} の微分の導出にも使えます。証明1（商の微分公式を使う方法）のみ書いておきます。

証明

(1tan⁡x)′=(cos⁡xsin⁡x)′=(cos⁡x)′sin⁡x−(sin⁡x)′cos⁡xsin⁡2x=−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡ 2x=−1sin⁡2x\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'\\ =\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)'\\ =\dfrac{(\cos x)'\sin x-(\sin x)'\cos x}{\sin^2 x}\\ =\dfrac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2 x}\\ =-\dfrac{1}{\sin^2x}

証明2：逆数の微分公式を使う

「f(x)f(x) が微分できれば 1f(x)\dfrac{1}{f(x)} も微分できる」という発想です。多くの教科書で採用されている方法です。

証明

逆数の微分公式： (1f( x))′=−f′(x)f(x)2 \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=-\dfrac{f'(x)}{f(x)^2} より，

(1tan⁡x)′ =−(tan⁡x)′tan⁡2x=−1 tan⁡2xcos⁡2x=−1sin⁡2x\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'\\ =-\dfrac{(\tan x)'}{\tan^2x}\\ =-\dfrac{1}{\tan^2 x\cos^2 x}\\ =-\dfrac{1}{\sin^2 x}

証明3：平行移動でtanに

おまけです。

証明

1tan⁡x= cos⁡xsin⁡x=sin⁡(x+π2)−cos⁡(x+π2) =−tan⁡(x+π2)\dfrac{1}{\tan x}\\ =\dfrac{\cos x}{\sin x}\\ =\dfrac{\sin (x+\frac{\pi}{2})}{-\cos(x+\frac{\pi}{2})}\\ =-\tan (x+\frac{\pi}{2})

より，

(1tan⁡x)′=−1cos⁡2(x+π2)=−1sin⁡2x\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'\\ =-\dfrac{1}{\cos^2(x+\frac{\pi}{2})}\\ =-\dfrac{1}{\sin^2x}

じっくり考えてみるといろいろな方法があるもんですね。

Tag:微分公式一覧（基礎から発展まで）

Tag:数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

2022.09.28 2019.10.22

今回はtan微分です！

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

上記のタンジェントの微分を2つの方法で導出します。

• 商の微分公式を用いる
• 定義通りに微分する

の2通りです。
この記事を読めばtan微分を覚えなくても計算できるようになりますし、商の微分公式も使いこなせるようになります！

ぜひ最後まで読んでいってください。

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します！
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tanxの微分｜商の微分公式

では、商の微分公式を使って、タンジェントの微分を解説していきます！

商の微分公式

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。
式はややこしいですが、4つの簡単な計算だけで微分できます！

1. 分母を2乗して分母にする
2. 分子を微分して分母と掛ける
3. 分母を微分して分子と掛ける
4. ②から③を引く

詳しい解説
≫関数の商の導関数（微分）【使い方4ステップと証明】≪

では、これを\(\tan x\)に当てはめましょう！

tanxの微分

三角関数の相互関係より、\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である。

\((\sin x)’=\cos x\)であり、
\((\cos x)’=-\sin x\)であるため、商の微分公式を使うと下記の式となる。

$$(\tan x)’=\left(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\displaystyle\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

三角関数の公式より、\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、\(\tan x\)を微分すると下記の式となる。

$$(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$$

tanxの微分｜微分の定義

次に微分の定義通りに\(\tan x\)の微分をしていきます。
微分の定義は下記の式です。

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

嫌になりますね・・・
ゆっくり計算するのでついてきてください。

まずは、定義式に当てはめます。

\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}

次に\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します！

$$\displaystyle\frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}$$

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説！«

最後に、上記で作成した式を計算します。

\begin{eqnarray} (\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x-\tan x+\tan ^2x \tan\Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\right)\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\ &&\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1なので\\ &=& 1・\frac{1+\tan^2 x}{1-0}\\ &=& 1+\tan^2 x\\&=&\frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray}

このように、途中式の量は多いですが、問題なく微分できました。

途中の\(\lim_{ \Delta x \to 0 } で\frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)は、下記3つの計算より導出しています。
・\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\cos \Delta x\rightarrow1\)
・\(\displaystyle\lim_{ \Delta x \to 0 } \)のとき、\(\displaystyle \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\rightarrow1\)

参考動画

2分で復習できる動画も作成しましたので、ぜひ参考にしてみてください。

三角関数の微積クイズ！