95信賴區間計算

區間估計不用再查表了！信賴區間計算器 / Confidence Intervals Calculator

區間估計是學習推論統計的第一道關卡，但是計算區間的門檻卻相當的高。計算區間估計時，要知道資料適用的分佈、各種分佈對應的誤差範圍的計算公式、並搭配z分佈或t分佈的查表等技巧，儘管如此，這些步驟其實也只是機械化的動作已，用人腦來算其實是挺沒效率的一件事情。

因此，我參考深入淺出統計學的公式與範例，以JavaScript製作了一份純網頁版本的信賴區間計算器。當任何研究使用想要從樣本來推估母體參數時，都可以用這個信賴區間計算器來計算母體參數可能位於的區間。

信賴區間計算器 / Confidence Intervals Calculator

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使用說明 /  Instruction

此信賴區間計算器有兩種模式，請根據資料類型來選擇。

第一種模式是估計母體平均數的區間，適用於抽樣資料有很多筆連續數值的情況。此模式能使用兩種分佈來計算，當樣本數量未達30時適用於小樣本的t分佈，而樣本數量在30以上時，根據中央極限定理，適用於常態分佈。

另一種模式是估計母體比例的區間，適用於樣本為一個介於0到1之間的比例值，還需要輸入樣本的數量。這種比例資料適用於二項分佈，不可與常態分佈、t分佈混為一談。

此外，信賴區間計算器中還可設定信心水準，以百分比表示。在推論統計研究的共識中，大多是為90%、95%、99%等三種數值。信心水準越大，估計出來的區間越有可能包含母體參數(不管是平均數或比例)，但區間上限與下限的範圍也會越大。

最後是顯示報表的小數點位數。預設採用的是小數點後第三位四捨五入，跟SPSS一樣。

試算範例 / Example

以下我以兩個試算範例來說明信賴區間計算器如何使用。

估計母體平均數的信賴區間 / How to estimate confidence intervals of the population mean

口香糖工廠要估計口香糖產品的母體平均值，並希望找到95%信賴水準之下的信賴區間。

品管人員抽樣10顆口香糖，秤重之後如下：

接著我們來到信賴區間計算器，進行以下設定：

• 模式：多筆數值(常態分佈/t分佈)
• 輸入數值資料：將上面的樣本重量輸入進去，一筆資料一行。
• 母體分佈模式選擇：根據樣本數量選擇。在此例子中，因為樣本數量小於30，程式會選擇t分佈來估計。
• 信心水準百分比：95%

設定之後的畫面如上圖。

數值設定之後就會立刻計算結果，分析結果報表如上圖。從此表來看，母體平均數為0.5，而最後一句話「分析結果顯示，(0.285, 0.715)有95%的機會包含母體平均數」就是區間估計，其中0.285就是區間估計的下限、0.715則是區間估計的上限。至此計算結束。

估計母體比例的信賴區間 / How to estimate confidence intervals of the population proportion

民意調查想知道某候選人的母體支持度，以及其在95%信心水準底下的信賴區間。在抽樣1110位民眾之後，計算樣本中支持某候選人的比例為58% 。在點估計的層次來看，此樣本比例可視為母體比例。但如果要計算信賴區間，則還需要進行更進一步的計算：

接著我們來到信賴區間計算器，進行以下設定：

• 模式：單筆比例(二項分佈)。因為支持率是比例，適用於二項分佈。
• 樣本比例：0.58。這裡不是用百分比，請用介於0到1的比例來呈現。
• 樣本數量：1110
• 信心水準百分比：95%

設定之後的畫面如上圖。

數值設定之後就會立刻計算結果，分析結果報表如上圖。從此表來看，點估計的母體比例為58%，而最後一句話「分析結果顯示，(55.1%, 60.9%)有95%的機會包含母體平均數」就是區間估計，抽樣誤差為2.9%。至此計算結束。

附帶一提，如果此資料以「支持=1、不支持=0」的多筆數值輸入到「多筆數值」模式中(如上圖)，那麼計算結果仍會跟上述用單筆比例的方式計算相同。

參考資料 / Reference

信賴區間計算器的公式主要來自於深入淺出統計學。這本書是我目前看過統計教科書中對區間估計講解最完整的例子，說明了許多教科書沒有釐清的資料分佈區別。參考書目如下：

Griffiths, D.（2009）。深入淺出統計學（楊仁和譯）。臺北市：美商歐萊禮公司臺灣分公司。（ISBN：978-986-6840-35-7）

候選人支持度的例題來自於林柏佐老師的「信賴區間與信心水準的解讀」，信賴區間計算機的結果與其文中的例子結果相符。

程式中查詢z分佈c值的函式來自於「How do I convert probability into z-score」中的Gregory解答，查詢t分佈t值的函式來自於Robsteranium的「statistics-distributions.js」。在對照z分佈與t分佈機率表之後，兩者函式運算結果都與查表結果相符。

小結 / In closing

區間估計的統計技術從20世紀中期就已經發展成熟，而在今日在大學的統計相關課程中則是推論統計的第一道關卡。儘管如此，許多研究在估計母體參數時，仍然只有用到點估計的層次，沒有到應用到區間估計。例如在進行學生的學業成績調查時，大多研究僅止於計算成績的平均數。若此時應用區間估計，加入「在95%的信心水準之下，學業成績母體平均數會落在(下限)與(上限)之間。」的分析。這樣子更能顯著提升研究的層次。

缺乏區間估計的計算工具

既然區間估計這麼好用，為什麼大家都不做呢？我在想理由可能是「沒有好用的工具，不想用手算」。就如開頭所言，區間估計的計算手續很麻煩。不僅計算式繁雜，還要搭配查表。其中一步算錯，後面就整個都錯，手動計算的過程實在是很令人灰心。我在大學學統計的時候也是很反對手動計算區間估計，由衷對於這種制式化的動作還要人手計算感到反感。直到現在，學習統計的學生也仍然對區間估計感到不解，而手動計算容易出錯的結果，也會讓教學的統計老師覺得很洩氣。

而統計界大家最喜歡的SPSS雖然也有區間估計，但大家學到的卻都是平均數差異值的區間估計(t檢定)，反而不知道如何從樣本來進行母體參數的區間估計。這也是我撰寫這個信賴區間計算器的主要原因之一，希望能夠讓區間估計技術更容易使用。也算是了了大學時的心願：我就是不想用手算來計算區間估計啊。

區間估計的混亂

再來講區間估計另一個問題：計算區間估計的混亂。

許多信賴區間的計算雖然都名為區間估計，但背後的計算方式卻差非常多。我得特別強調，差非常非常非常多，不是所有的區間估計都用同一套算法。這個差異取決於抽樣樣本的資料性質，以及資料背後的資料分佈。

大部分的統計課本都會先從已知母體參數的情況下，以常態分佈(z分佈)開始介紹區間估計的計算。然而，我認為這意義並不大。在信賴區間計算器中，我刻意忽略了「已知母體是常態分佈」(除非是樣本數超過30以上，符合中央極限定理的情況)、「已知母體平均數」、「已知母體標準差」的這種前提假設。通常在實務應用上，我們並不會知道母體的平均數跟標準差是多少，這種情況大多只是統計課本跟考試才會出現的例題，並不實際，所以我做的信賴區間計算器並未納入這些考量，僅從樣本統計量來計算信賴區間。

另一個問題在於大多數區間估計並沒有詳細說明「多筆樣本連續數值算母體平均數」跟「單筆比例來算母體比例」的這兩種情況，前者適用於z分佈或t分佈，後者適用於二項分佈。兩者在計算區間估計的時候做法差別相當的大，卻很少看到區間估計教學有指明這一點。有些區間估計教學會以常態分佈開始教起，但這時候適用的資料僅是多筆連續數值的情況，並不適用於單筆比例。有些區間估計著重於「候選人支持度」的區間估計，這個資料是比例數值，適用於二項分佈，但教學中大多寫得跟前面的常態分佈一樣，計算公式卻並不相同，令學習者帶來許多困擾。

我看到現在，也只有「深入淺出統計學」這本書有講清楚這兩者之間的差別。雖然深入淺出系列價格很貴，但的確有它的價值在啊。

理論派的堅持？

話說有些硬派理論統計學家蠻不齒這種簡單使用的計算器，計算器只求結果、讓使用者忽略背後理論的做法，簡直就是失去了統計的靈魂！不過，老實說，推論統計背後的理論其實已經多到難以全部吸收的程度了。姑且不論信賴區間的計算公式，z分佈跟t分佈的查表、95%信賴水準的制定、中央極限定理的證明等等眾多理論才能建構出區間估計的基礎，而這些背後理論並不是非統計主修的課程所能講得完的程度。

換個角度來看，放輕鬆點，何必這麼嚴肅？我個人看來，享受推論統計能夠帶給我們的好處，比起搞懂背後的理論來說更加重要。在開車的時候，即使我們搞不懂車上使用了多少顆螺絲，我們還是可以享受車子帶給我們的便利性。如果對車子很有興趣的人，自然而然就會想要進一步去研究車子的構造、甚至改良車子本身。師父領進門，修行在個人，不就是這樣嗎？

好啦，其實我也只是寫個信賴區間計算器，方便未來使用而已，不知不覺就閒聊了一堆事情。那我們這次就閒聊到這裡囉。