雙尾檢定 單尾檢定

作者：謝維馨/有勁生物科技

一般來說，當我們希望藉由統計的方法來協助我們進行推論時，我們會先針對結果提出假設，並希望能夠利用有限的的資料加以證實我們提出的假設，而假設檢定就是一種用來檢驗統計假設的方法。

在研究的過程中，要提出一個強而有力的證據來證明假設為真是不容易的，因此在進行假設檢定的過程中，我們會先將結果分成兩種相反的決策：虛無假設 (Null Hypothesis, H0)和對立假設(Alternative Hypothesis, H1)，並利用反證法來證實我們的推論。換句話說，進行假設檢定的目標，不是在於證明立論為真，而是希望能夠有足夠的證據可以推翻相反的立論。因此，我們通常會將我們希望推翻的目標設為虛無假設 (H0)、將我們期望證實的結果設為對立假設 (H1)，並期望可以透過推翻虛無假設來證實我們的推論。

根據H0所定訂範圍的差異，可將假設檢定的型式分成兩種：單尾檢定 (one-tailed tests)以及雙尾檢定 (two-tailed tests)。其中，單尾檢定又可細分為右尾檢定 (upper-tail test)和左尾檢定  (lower-tail test)。當樣本檢定量越大，越容易拒絕H0時，即為右尾檢定；反之，當樣本檢定量越小，越容易拒絕H0時，就稱為左尾檢定；若樣本檢定量越大或越小均可能拒絕H0時，則為雙尾檢定。

然而，如果虛無假設在事實上成立，但是檢驗的結果卻將虛無假設推翻，而造成檢定錯誤，我們稱之為型一誤差 (Type I Error)。若虛無假設事實上不成立，但是檢驗結果卻沒有推翻虛無假設，我們將此類型的錯誤稱之為型二誤差 (Type II Error)。

在理想上，我們會希望正確率越高越好，然而在實務上，我們受限於技術與金費，發生檢定錯誤是在所難免的，因此當我們在進行假設檢定時，我們會控制型一誤差的發生，給定一個我們容許型一誤差發生的上限，稱之為顯著水準 (Significance level, α )。

給定顯著水準後，便可以開始進行檢定。檢定統計假設的方法主要有兩種：臨界值法 (Critical value method)和P值法 (P-value method)。

使用臨界值法時，我們一般會給定拒絕域 (拒絕H0的區域)以及接受域 (不拒絕H0的區域)，當檢定統計量落入拒絕域時，則表示我們的樣本有足夠的證據來拒絕H0；反之，當檢定統計量落入接受域的時候，就表示我們的樣本資訊沒有足夠的證據來拒絕H0。

使用P值法時，我們會再H0為真的條件下，計算拒絕H0的最大機率。若P值小於 α ，則拒絕虛無假設 (H0)，否則便無法拒絕H0。

假設檢定流程為：(1) 提出相關的虛無假設和對立假設、(2)選擇檢定統計量、(3)選擇顯著水準並決定決策法則、(4)比較樣本統計量與臨界值並下結論。

本篇將整個假設檢定流程大略走一遍，幫助理解統計這個學科，並讓一個局外人看完這篇對初統有初步的認識，甚至厲害一點的人可以馬上學會初統！

2015.11.7 各種優化並豐富數學內涵
2015.9.30 以假設檢定流程為主軸重新編排內容
2015.3.31 初版

一、提出虛無假設和對立假設

1. 虛無假設和對立假設

1. $H_0$，虛無假設（null hypothesis）：零假設通常由研究者決定，反應研究者對未知參數的看法。
2. $H_1$，對立假設（alternative hypothesis）：它通常反應了執行檢定的研究者對參數可能數值的另一種看法。

把想要檢定的假設定為 H1，H0 則為其相反之假設。也就是說，虛無假設是「一般情形」，而對立假設是你想證明的「特殊觀點」。

2. 假設檢定中可能的錯誤

型 I 誤差 (Type I Error)：

• 當 $H_0$ 為真，而拒絕 $H_0$ 所發生的錯誤。
• P(Type I error) = α，α 又稱為顯著水準(significance level)。

型 II 誤差 (Type II Error)：

• 當 $H_0$ 為假，而不拒絕 H0 所發生的錯誤（也就是 $H_1$ 為真，沒有接受 $H_1$ 為真所發生的錯誤）。
• P(Type II error) = β

二、選擇檢定統計量(test statistic)

檢定統計量是由樣本所算出來的一個值，用來決定是否接受或拒絕 $H_0$。常用的檢定統計量有：Z, t, F 與 χ2。

1. Z檢驗：使用常態分配做檢定

：標準正態分佈。

：一般用於大樣本(即樣本容量大於30)平均值差異性檢驗的方法。它是用標準正態分佈的理論來推斷差異發生的機率，從而比較兩個平均數的差異是否顯著。

[注意] 當已知標準差時，驗證一組數的均值是否與某一期望值相等時，用Z檢驗。但是這種方法理論上成立，事實上由於總體參數標準差未知，因此一般使用T檢驗。

2. T檢驗：使用T分配做檢定

：T分配相似於常態分配的曲線，不同的是他是依著自由度來改變分配的形狀。常態分配其實是T分配的的一個特例，當df=∞，T分配就是常態分配。實際的例子上，只要df=30，t分配就已經很接近常態分配。

T檢驗 (單樣本)

：檢驗零假說為一群來自常態分配獨立樣本 $x_i$ 之母體期望值 $μ$ 為 $μ_0$ 可利用以下統計量

$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} $

其中 $i = 1 \ldots n，\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ 為樣本平均數，$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$ 為樣本標準偏差，$n$ 為樣本數。該統計量 $t$ 在零假說：$μ = μ_0$ 為真的條件下服從自由度為 $n − 1$ 的 $t$ 分布。

[用心去感覺] Z檢定與T檢定的選擇

在母體平均數的假設檢定裡，不同的情形下使用不同的檢定統計量。

• 母體已知：無論樣本數大小，皆使用常態分配
• 母體未知：
• 當樣本數 n > 30，可以使用 z 分配 (常態分配)
• 當樣本數 n < 30，使用 t 分配

3. 卡方檢驗：使用卡方分配做檢定

：卡方分配為一定義在大於等於0(正數)範圍的右偏分配，不同的自由度決定不同的卡方分配。卡方分配只有一個參數即自由度，表為 $v$。

常態分配其實是卡方分配的的一個特例，卡方分配當自由度增加而逐漸對稱，當自由度趨近於無窮大時，卡方分配會趨近於常態分配。

卡方檢定

：卡方檢定適用於探討兩個類別變數的相關，是實務上最常用到的方法之一。

The value of the test-statistic is

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} =  N \sum_{i=1}^n p_i \left(\frac{O_i/N - p_i}{p_i}\right)^2$

where

$\chi^2$ = Pearson's cumulative test statistic, which asymptotically approaches a \chi^2 distribution.

$O_i$ = the number of observations of type i.

$N$ = total number of observations

$E_i = N p_i$ = the expected (theoretical) frequency of type i, asserted by the null hypothesis that the fraction of type i in the population is  $p_i$

$n$ = the number of cells in the table.

初等統計大多數都是背背背，沒有證明各種分配是怎麼來的，學起來毛毛的。但是證明也十分複雜一時間無法領會，待往後有機會參透時補齊。

三、決定決策法則

A. 第一種決策法則 - Traditional method - Using Rejection Regions (critical value approach)

決策法則通常是決定一個接受域與拒絕域

• 接受域： 接受 H0
• 拒絕域： 接受 H1
• 臨界點(Critical Point)：接受域與拒絕域的接點，稱為臨界點。

臨界值的決定，是根據顯著水準α並利用機率分配計算而得，分成單尾和雙尾檢定兩種。

『單尾檢定』與『雙尾檢定』是什麼意思。？

如何判斷雙尾檢定？

significance level 怎麼算？

假設檢定怎麼設？