某一個四邊形的兩條對角線互相平分且等長已知其一對角線長為7且有一邊長為5則四邊形的面積為何

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1 平行四邊形的性質 平行四邊形的判別 特殊平行四邊形 自我評量

2 對邊等長 國小時我們透過實測發現平行四邊形有右列性質。那麼,平行四邊形是否還有其他性質呢?本節將利用「平行線的截角性質」和「三角形全等性質」來推導出平行四邊形的性質及判別方法。 對角相等

3 1 平行四邊形的性質 如右圖,平行四邊形 ABCD 中, , 。 試說明 = , = , ∠A =∠C,∠B =∠D。

4 如右圖,連接對角線 。 在△ABC 和△CDA 中, 因為 , 所以∠1=∠3 。(內錯角相等) 所以∠2=∠4。(內錯角相等)
說明 如右圖,連接對角線 。 在△ABC 和△CDA 中, 因為 , 所以∠1=∠3 。(內錯角相等) 所以∠2=∠4。(內錯角相等) 又 = (公用邊) , 所以△ABC △CDA。 (ASA全等)

5 故 = , = (對應邊) , ∠B=∠D(對應角), ∠A=∠C(因為∠1+∠4 =∠3 +∠2 )。

6 1.右圖平行四邊形 ABCD 的周長為 32,且 = 9,求 的長。 由例題 1 知,平行四邊形 ABCD 中, = , = , 所以 + = × 周長, 即 9 + =16 = 7

7 2.右圖是兩條有平行邊的紙帶,紙帶甲比紙帶 乙寬。 (1) 重疊的部分是哪一種四邊形? (2) 如果∠1=43°,求∠2、∠3。 (1) 因為四邊形的兩組對 邊平行,所以是平行 四邊形。

8 (2) 如圖,∠4=∠1=43°(對頂角), 且重疊的部分為平行四邊形, 所以∠5=∠4=43° (平行四邊形對角相等), 則∠2=∠5=43°(對頂角)。 而∠3+∠4=180° (同側內角互補) ∠3+43°=180° ∠3=137°

9 2 平行四邊形的性質 如右圖,平行四邊形 ABCD 中,對角線 與 相交於 O 點,試說明 , (兩條對角線互相平分)

10 在 △AOB 和 △COD 中,因為 , 所以∠1=∠2 (內錯角相等), ∠3=∠4 (內錯角相等), 又 = ,(平行四邊形對邊相等)
又 = ,(平行四邊形對邊相等) 所以△AOB △COD(ASA 全等) 故 , (對應邊)。 說明

11 如右圖,平行四邊形 ABCD 的兩條對角線 相交於 O 點,且 =4, =9, =5,求△AOB的周長。

12 由例題 2 知,平行四邊形 ABCD 的兩條對角線互相平分。
所以 = × = = × = △AOB周長= + + = 4 + + = 11

13 由例題1、2 可知,任意平行四邊形具有下列性質:
平行四邊形的性質: (1) 任一條對角線均可將它分成 兩個全等的三角形。 (2) 兩組對邊分別等長。

14 (3) 兩組對角分別相等。 (4) 兩對角線互相平分。

15 國小時,我們曾利用切割填補的方式學過三角形與平行四邊形的面積公式。現在我們換一種方式,利用「平行四邊形的任一條對角線可將它分成兩個全等三角形」的性質及三角形的面積公式,來說明平行四邊形的面積公式。

16 如圖4-9,平行四邊形ABCD中, = a,過 C 點到 邊的高 =h,連接對角線 ,可得
=△ABC 面積+△CDA 面積 =2 × △ABC 面積(因為△CDA △ABC) =2 × ah =ah 即平行四邊形的面積=底 × 高。 圖4-9

17 一個不親自檢查橋梁每一部分的堅固性就不過橋的旅行者,是不可能走遠的;甚至在數學中,有些事情亦須冒險。
—拉姆(Horace Lamb, )

18 如右圖,四邊形ABCD 中,E 在 上,∠A=60°,∠D=70°,△ABE 面積為 4,且四邊形ABCE 與BCDE 均為平行四邊形。
配合習作基礎題 1、2 3 平行四邊形性質的應用 如右圖,四邊形ABCD 中,E 在 上,∠A=60°,∠D=70°,△ABE 面積為 4,且四邊形ABCE 與BCDE 均為平行四邊形。 (1) 求四邊形ABCD面積。 (2) 求∠BEC。

19 =△ABE 面積+△CEB 面積+△ECD 面積 =4+4+4 =12 (2) 在△CEB 中, ∠BEC=180°-∠BCE-∠EBC
(1) 四邊形ABCD 面積 =△ABE 面積+△CEB 面積+△ECD 面積 =4+4+4 =12 (2) 在△CEB 中, ∠BEC=180°-∠BCE-∠EBC =180°-∠A-∠D =180°-60°-70° =50° (△ABE △CEB,且△CEB △ECD) 平行四邊形對角相等

20 如右圖,分別過 △ABC的三頂點作對邊的平行線,此三直線相交於D、E、F 三點,且△ABC 的面積為16,∠ACB=50°,∠BAD=44°。
(2) 求∠BEC。

21 (1) 因為四邊形ADBC、ABEC、ABCF 均為平行
四邊形,所以△ABC、△ABD、△BCE、△ACF 的面積都相等。 △DEF 面積=4 × △ABC 面積=4 × 16=64 (2) 因∠ADB=50°(平行四邊形對角相等), 且∠AFC=44°(同位角相等) 由△DEF 內角和得 ∠BEC=180°-∠ADB-∠AFC =180°-50°-44°=86°

22 如右圖,平行四邊形ABCD 中,E 在 上, =7, =11,∠D=82°,且∠1=∠2。
4 平行四邊形性質的應用 配合習作基礎題 3、4 如右圖,平行四邊形ABCD 中,E 在 上, =7, =11,∠D=82°,且∠1=∠2。 (1) 求∠3。 (2) △ABE 是否為等腰三角形? (3) 求 的長。

23 (1) ∠3=∠2 = ∠ABC = ∠D = × 82° = 41° 內錯角相等 ∠1=∠2 平行四邊形對角相等

24 (2) 因為∠1=∠2,且∠3=∠2,所以∠1=∠3 ,即△ABE 為等腰三角形。 (3) = =11-7 = 4 平行四邊形對邊等長,等腰三角形兩腰等長

25 如右圖,平行四邊形 ABCD 中,E 在 上, 且 ∠C=∠ADE=60°, =11, =13。 (1) 求∠CDE。 (2) 求 的長。

26 (1) ∠C+∠ADC=180°(同側內角互補) 60°+60°+∠CDE=180° ∠CDE=60° (2) 因為∠AED=∠CDE=60°(內錯角相等),且∠A=∠C=60°(對角相等) 所以△AED 為正三角形, = 11(對邊等長) = = =13-11=2

27 5 平行四邊形性質的應用 如右圖,平行四邊形ABCD中, O為兩條對角線交點, 垂直 於H,且△ AOD 的面積為 5。 (1) 求△COD 面積。 (2) 求平行四邊形ABCD面積。

28 (1) △COD 面積 = × × =△AOD 面積 = 5 平行四邊形對角線互相平分

29 (2) 平行四邊形ABCD 面積 =2 × △ADC 面積 =2 ×(△AOD 面積+△COD 面積) =2 × (5+5) =20 △CBA △ADC

30 如右圖,平行四邊形 ABCD 中, O為兩條對角線交點, 垂直 於H, =12,且平行四邊形 ABCD的面積為96,求 的長。

31 由例題 5 可知:平行四邊形的對角線將其分割成四個等面積的三角形。
所以△OBC 面積= × 96=24 又 =12(對邊等長) △OBC面積= × × =24 × 12× =24 =4

32 我們知道兩組對邊平行的四邊形就是平行四邊形,如長方形與正方形其內角均為直角,很容易確定它們是兩組對邊分別平行的四邊形。但是四邊等長的菱形,如果不經由測量,要如何確定它也是平行四邊形呢?因此接著我們將以下面的例題與隨堂練習,來介紹一些常用的判別方法。

33 6 用對邊判別平行四邊形 如右圖,四邊形 ABCD 中 , ,且 ,試說明四邊形ABCD為平行四邊形。

34 如右圖,連接對角線 。 在△ABC 和△CDA 中, 因為 ,(已知) ,(已知) ,(公用邊) 所以△ABC △CDA,( SSS全等 )
如右圖,連接對角線 。 在△ABC 和△CDA 中, 因為 ,(已知) ,(已知) ,(公用邊) 所以△ABC △CDA,( SSS全等 ) 故∠1=∠3 ,∠2= ∠4。(對應角) 則 // , // ,(內錯角相等) 所以四邊形ABCD 為平行四邊形。 說明

35 由例題 6 可知,兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。

36 沒有知識的人總愛議論別人的無知,而知識豐富的人卻時時發現自己的無知。
—笛卡兒(Rene Descartes, )

37 如右圖,四邊形ABCD中, ,且 。在下面的空格內填入適當的性質,說明四邊形ABCD 為平行四邊形。
配合習作基礎題 5 如右圖,四邊形ABCD中, ,且 。在下面的空格內填入適當的性質,說明四邊形ABCD 為平行四邊形。

38 說明: 如右圖,連接對角線 。 因為 ,所以∠1=∠3 (內錯角相等) 。 在△ABC 和△CDA 中, 因為 ,∠1=∠3, _________, 所以△ABC △CDA,( 全等) SAS

39 故∠2=∠4 。(對應角) 則 ,(內錯角相等) 所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

40 由隨堂練習可知,一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。

41 7 用對角判別平行四邊形 如右圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C,且∠B=∠D,試說明四邊形ABCD 為平行四邊形。

42 所以∠A+∠D=180°,因而 // 。(同側內角互補) 故四邊形ABCD為平行四邊形。
說明 因為∠A=∠C,∠B=∠D, 且∠A+∠B+∠C+∠D=360°, (四邊形內角和) 所以∠C+∠D+∠C+∠D= 360° , 2∠C+2∠D=360°, ∠C+∠D=180°,所以 // 。 (同側內角互補)又∠C=∠A, 所以∠A+∠D=180°,因而 // 。(同側內角互補) 故四邊形ABCD為平行四邊形。

43 由例題 7 可知,兩組對角相等的四邊形是平行四邊形。

44 如右圖,四邊形 ABCD中,O 為兩條對角線的交點且 ,

45 說明: 在△AOB 和△COD 中, 因為 , , , 所以△AOB △COD,( 全等) ∠1=∠2 SAS 故∠3=∠4,(對應角) 因而 。( ) 同理在△AOD 和△COB中,可推得 。 所以四邊形ABCD為平行四邊形。 內錯角相等

46 由上面隨堂練習可知,兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
因此,我們常用下列方法判別四邊形是否為平行四邊形。 平行四邊形的判別方法: (1) 兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。 (2) 一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。 (3) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 (4) 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

47 8 判別方法的應用 利用平行四邊形的判別方法,檢查下列各四邊形ABCD是否為平行四邊形。若是,如第(1)題在括弧內寫出其判別方法。

48 8 判別方法的應用 (1) (2) ∠A=∠C □是(因為:兩組對邊等長 ) □是(因為: ) □否 □否 ˇ

49 8 判別方法的應用 (3)△AOB面積=△BOC 面積=△COD 面積 □是(因為: ) □否

50 8 判別方法的應用 (4) , +1,∠EAB=114° □是(因為: ) □否

51 (2) 因為∠D=180°-70°-50°=60°=∠B 又∠A=∠C, 所以四邊形ABCD 為平行四邊形。 (兩組對角分別相等)
(2) 因為∠D=180°-70°-50°=60°=∠B 又∠A=∠C, 所以四邊形ABCD 為平行四邊形。 (兩組對角分別相等) (3) 因為 △AOB 與 △BOC 分別以 、 為底邊時,其高相同,且 △AOB 面積= △BOC 面積,所以底邊 。 同理, 。 所以四邊形ABCD 為平行四邊形 (兩條對角線互相平分) 。

52 (4) 因為∠D=180°-∠A=180°-114°=66°(同側內角互補)
所以△CDE 為等腰三角形。 (∠D=∠CED =56°) 所以 。(兩腰等長) = +1,( = +1) 即 與 兩對邊不等長,可知四邊形 ABCD 不是平行四邊形。

53 利用平行四邊形的判別方法,檢查下列各四邊形ABCD是否為平行四邊形。若是,在括弧內寫出其判別方法。

54 (1) ∠A=∠C (2) ∠1=∠2=∠3, + = □是(因為: ) □是(因為: ) □否 □否 ˇ 一組對邊平 行且等長 ˇ

55 (3) ⊥ ˇ □是(因為: ) □否 兩組對邊等長

56 (4) 與 分別為兩同心圓的直徑(圓心 O) ˇ □是(因為: ) □否 兩對角線互相平分

57 使用尺規畫平行四邊形時,若能利用平行四邊形的判別方法,常能簡化作圖的步驟,我們以下面的例題來說明。

58 如右圖,已知∠E及 a、b 兩線段長,利用尺規作圖畫一平行四邊形 ABCD,使得∠A=∠E , = a, = b 。
9 平行四邊形作圖 配合習作基礎題 7 如右圖,已知∠E及 a、b 兩線段長,利用尺規作圖畫一平行四邊形 ABCD,使得∠A=∠E , = a, = b 。

59 (1) 作∠A,使得∠A=∠E。 (2) 在∠A的兩邊分別取B、D兩點, 使得 =a, =b。 (3) 分別以B、D 為圓心,b、a 線段
作法 (1) 作∠A,使得∠A=∠E。 (2) 在∠A的兩邊分別取B、D兩點, 使得 =a, =b。 (3) 分別以B、D 為圓心,b、a 線段 長為半徑畫弧,交於C點。 (4) 連接 與 ,則四邊形ABCD為所求。

60 作法 (1) (2) (3) (4)

61 例題 9 中所作的四邊形ABCD為何是平行四 邊形?請簡述原因。 四邊形ABCD 有兩組對邊等長,所以是平行 四邊形。

62 1.如右圖,已知線段 a,利用尺規作圖畫一個 邊長為 a 的正方形,並說明其理由。

63 作法:  作直線 L,並在L上任取一點A。  過 A 點作直線M 與直線L 垂直。  分別在 L、M 上取 與 , 使得 = = a。  分別以B、D為圓心,線段長a為半徑畫弧, 設兩弧交於 C 點。  連接 、 ,則四邊形ABCD為所求。

64 說明: 四邊形ABCD為四邊等長的平行四邊形,且一內角為90°時,其餘內角均為90°,故四邊形ABCD 為四邊等長且四內角為直角的正方形。

65 2.如下圖,已知∠PAQ 及一點C,利用尺規作圖
在∠PAQ 的兩邊分別找B、D 兩點,使得四邊 形ABCD 為平行四邊形,並說明其理由。

66 作法:  過C點作 的垂線 L。  過C點作直線M 平行 ,且交 於D點。  在 上取 ,使得 。  連接 ,則四邊形 ABCD為所求。 說明: 四邊形ABCD 中, ,且 , 故ABCD 為平行四邊形

67 我們知道平行四邊形的對角線會互相平分,而正方形、長方形、菱形均為平行四邊形,所以其對角線也會互相平分,為了進一步探討這些特殊平行四邊形對角線的關係,請同學在下表中畫出每個四邊形的兩條對角線,並提出你的猜測(將該圖形具有的性質在欄位中打ˇ,如第一列所示)。

68 兩條對角線的關係 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 互相平分 ˇ 等長 互相垂直

69 10 長方形的對角線 如右圖,長方形 ABCD 中, 、 為兩條對角線,試說明 。(兩條對角線等長)

70 在△ABC 和△DCB 中, 因為 ,(對邊等長) ,(直角) (公用邊) , 所以△ABC △DCB,(SAS 全等) ∠ABC=∠DCB
因為 ,(對邊等長) ,(直角) (公用邊) , 所以△ABC △DCB,(SAS 全等) 故 。(對應邊) 說明 ∠ABC=∠DCB

71 如右圖,菱形ABCD中,O為兩條對角線 、 的交點。則:
(1) △OAB 和△OCB 是否全等?試說明其理由。 (2) 與 是否垂直?試說明其理由。

72 (1) 在△OAB 和△OCB 中, 因為 = ,(對角線平分) = ,(公用邊) = ,(菱形四邊等長) 所以△OAB △OCB,(SSS全等性質)

73 (2)因為△OAB △OCB 故∠AOB=∠BOC(對應角)。 又因為∠AOB+∠BOC=180°(平角)。 所以∠AOB=∠BOC=90°, 故 ⊥ 。

74 11 菱形的對角線 如右圖,菱形ABCD 的周長為32,兩條對角線交於O點,且 =12,求 的長。

75 =32÷4=8 = ÷2 =12÷2 =6 = = =2 × =2 × = 四邊等長 對角線互相平分 對角線互相垂直 對角線互相平分

76 已知某長方形的周長為28,且其兩條對角線長的和為20,求該長方形的面積。

77 設長方形的一邊長為x,則另一邊長為14-x。
又兩對角線等長,所以對角線長為10。 由勾股定理得 x2+(14-x)2=102 x2-14x+48=0, (x-6)(x-8)=0,x=6 或 x=8 當x=6,則 14-x=8, 長方形面積為6 × 8=48。 當x=8,則 14-x=6, 長方形面積為8 × 6=48。

78 因為正方形可視為長方形,亦可視為菱形,所以由例題10及隨堂練習可知,正方形的兩條對角線會等長且互相垂直。因此我們可得到以下一些特殊平行四邊形的對角線性質。
(1)長方形的兩條對角線等長且互相平分。

79 (2)菱形的兩條對角線互相平分且垂直。 (3)正方形的兩條對角線等長、互相平分且垂直。

80 我們知道對角線互相平分的四邊形為平行四邊形,但以此來判別是否為正方形、長方形或菱形,條件是不夠的。從前面的對角線性質不難看出,兩對角線是否等長與互相垂直,也是需要考慮的條件。

81 12 長方形的判別 如右圖,四邊形ABCD 中, 、 兩條對角線等長且互相平分,試說明四邊形ABCD 為長方形。

82 因為兩條對角線互相平分,所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
說明 因為兩條對角線互相平分,所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。 在△ABC 和△DCB 中, 因為 ,(平行四邊形對邊相等) ,(公用邊) ,(已知)

83 所以△ABC △DCB, (SSS全等) 則∠ABC=∠DCB(對應角)。 又∠ABC+∠DCB=180°(同側內角),
同理∠BAD=∠CDA=90°。 故四邊形ABCD 為長方形。 說明

84 某一個四邊形的兩條對角線等長且互相平分,已知其中一條對角線長 7,且有一邊長為 5,求該四邊形的面積。
因為四邊形的兩條對角線會互相平分且等長, 所以該四邊形為長方形。 因此另一邊長為 面積為

85 13 特殊平行四邊形的判別 如右圖,四邊形 ABCD 中,兩條對角線 、 互相平分且垂直,O 為其交點,試說明 ABCD 為菱形。 配合習作基礎題 8

86 因為直線 AC為 的垂直平分線, 所以 = , = (垂直平分線上的點到兩端點等距離)。 同理,直線 BD 為 的垂直平分線,
說明 因為直線 AC為 的垂直平分線, 所以 = , = (垂直平分線上的點到兩端點等距離)。 同理,直線 BD 為 的垂直平分線, 所以 = , = , 即 = = = , 故四邊形 ABCD 為菱形。

87 某一個四邊形的兩條對角線互相平分且垂直,已知兩對角線的長分別為6與10,求該四邊形的面積與周長。
因為兩對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形, 所以其面積為 =30; 其周長為 4‧ =

88 由例題12及例題13可知,若四邊形的兩條對角線等長、互相平分且垂直,則該四邊形的四個內角均為直角且四邊會等長,也就是說,此四邊形為正方形。因此我們可以用對角線判別下列各特殊平行四邊形。
用對角線判別特殊平行四邊形的方法: (1)兩條對角線等長且互相平分的四邊形為長方形。 (2)兩條對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形。 (3)兩條對角線等長、互相平分且垂直的四邊形為正方形。

89 1.平行四邊形的性質: (1)任一條對角線均可將它 分成兩個全等的三角形。 (2)兩組對邊分別等長。

90 1.平行四邊形的性質: (3)兩組對角分別相等。 (4)兩條對角線互相平分。

91 2.平行四邊形的判別方法: (1)兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。 (2)一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。 (3)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 (4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

92 3.特殊平行四邊形的對角線性質: 名稱 圖形 長方形 菱形 正方形

93 3.特殊平行四邊形的對角線性質: 名稱 性質 長方形 菱形 、 、 ⊥ 。 正方形 ⊥ 。

94 3.特殊平行四邊形的對角線性質: 名稱 說明 長方形 兩條對角線等長且互相平分。 菱形 兩條對角線互相平分且垂直。
正方形 兩條對角線等長、互相平分且 垂直。

95 4.用對角線判別特殊平行四邊形的方法: (1)兩條對角線等長且互相平分的四邊形為長方形。 (2)兩條對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形。 (3)兩條對角線等長、互相平分且垂直的四邊形為正方形。

96 4-2 自我評量 1.有一個平行四邊形,已知它有一個內角是直角,請問它是哪一種四邊形呢?為什麼? 由「平行四邊形的對角相等且相鄰兩角互補」可得該四邊形四內角均為直角,所以該四邊形為長方形。

97 2.如右圖,平行四邊形ABCD中,∠A=39°,求
∠C=∠A=39° ∠B=∠D=180°-∠A =141°

98 3.如右圖,ABCD為平行四邊形,E、F 分別在
、 上,且∠D=57°,∠EFB=66°, =9, =4。 (1)求∠BEF。 (2)求 的長。

99 (1)∠B=∠D=57° 由△BEF 的內角和得 ∠BEF=180°-∠B-∠BFE =180°-57°- 66°=57° (2) = (因為∠BEF=∠B=57°) = - = - (對邊等長) =9-4 =5 3.

100 4.如右圖, ,且 > ,試用尺規作圖在 上取一點D,使得四邊形ABCD 為平行四邊形,並說明其理由。
作法: 在 上取 ,使得 = 。 連接 ,則四邊形ABCD 為所求。 說明: 因為 且 , 所以四邊形ABCD 為平行四邊形。

101 5.平行四邊形 ABCD 的周長為 72 公分,且 是 的 3倍,求 與 的長。
72=3 × + +3 × + =8 × 所以 =9 = = 3 × 9 = 27 = = 9

102 6.已知四邊形ABCD 中,O 為四邊形 ABCD 兩條對角線的交點,且 ,
= = = = 5 = + =5 + 5= + = 所以四邊形 ABCD 為長方形。 則 = =8 , 四邊形 ABCD 的面積為 6 × 8=48。

103 7.在下面的四邊形中,根據所給定的邊角數據,判斷它們的兩條對角線具有哪些性質。(將該圖形具有的性質在下表的欄位中打ˇ)

104 圖形編號 對角線性質 (A) (B) (C) (D) 互相平分 等長 互相垂直 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

105 8.判斷下列敘述是否正確。如果不正確,請說明理由。
(1)若某四邊形為平行四邊形,則此四邊形的兩條對角線一定會互相平分。 □正確□不正確,理由: (2)若某四邊形的兩條對角線會互相平分,則此四邊形為一定是平行四邊形。 ˇ ˇ

106 (3)若某四邊形為長方形,則此四邊形的兩條
對角線一定會互相平分。 □正確□不正確,理由: (4)若某四邊形的兩條對角線會互相平分,則 此四邊形一定是長方形。 □正確□不正確, 理由: ˇ ˇ 還須兩對角線等長的條件。

107 (5)若某四邊形為菱形,則此四邊形的兩條對角線一定會互相垂直。
□正確□不正確,理由: (6)若某四邊形的兩條對角線會互相垂直,則此四邊形一定是菱形。 □正確□不正確, 理由: ˇ ˇ 還須兩對角線互相平分的條件。